סדרת ההפכיים והחלפת סימנים – סכום אין־סופי – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳סדרות 571 · שיעור 48

קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 2 · סעיפים ד , ה

שיעור 48: סדרת ההפכיים והחלפת סימנים – סכום אין־סופי – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳

פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף ד – הסדרה B הנדסית

3סעיף ה – סכום הסדרה C

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא a_n ומנתה היא q.

א. הוכיחו כי a₁ · a_2n = a_n · a_{n + 1} מתקיים בעבור כל n טבעי. (פתרנו בשיעור 45)

בעבור 2k האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים האמצעיים בסדרה שווה ל־10935a₁.

נתון: a_{2k − 2} = 1215.

ב. מצאו את q (שתי אפשרויות). (פתרנו בשיעור 45)

📄 נוסח השאלה · המשך

נתון: a₁ = 5.

ג. (1) קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את קביעתכם. (פתרנו בשיעור 45)

(2) מצאו את k.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין־סופית B באופן הזה: 1a₁ , 1a₂ , 1a₃ , ….

ד. הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.

📄 נוסח השאלה · המשך

בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי־זוגיים, כך שמתקבלת הסדרה C: ‏−1a₁ , 1a₂ , −1a₃ , 1a₄ , ….

ה. מצאו את סכום הסדרה C.

סעיף ד – הסדרה B הנדסית

📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 45):
סעיף ב – מציאת q: q = 3 או q = −3
סעיף ג (1) – עולה או יורדת: הסדרה עולה
סעיף ג (2) – מציאת k: k = 4

b_n = 1a_n

b_{n + 1}b_n = a_na_{n + 1} = 1q

המנה בין כל שני איברים סמוכים קבועה, ולכן B סדרה הנדסית.

📐 סדרה הנדסית

✅ פתרון סופי: הוכחה – המנה 1q = 13

📐 סדרה הנדסית

b_{n + 1}b_n = קבוע

סעיף ה – סכום הסדרה C

עם a₁ = 5 ו־q = 3:

c_n = (−1)ⁿa_n

c₁ = −15

c_{n + 1}c_n = −a_na_{n + 1} = −13

C סדרה הנדסית אין־סופית עם |q| = 13 < 1, ולכן היא מתכנסת:

S = −151 − (−13)

📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

S = a₁1 − q , |q| < 1

סעיף ה – סכום הסדרה C · המשך

S = −151 − (−13)

📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

= −1543 = −320

✅ פתרון סופי: S = −320

📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

S = a₁1 − q , |q| < 1

📌 סיכום התשובות

סעיף ד

הוכחה

סעיף ה

S = −320

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא